12015年湖南理科数学选择题
（本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.）
1.已知
（
为虚数单位），则复数
=（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设A,B是两个集合，则”
”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图1所示的程序框图，如果输入
，则输出的
( )
A.
B.
C.
D.
4.若变量
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
5.设函数
，则
是（ ）
A.奇函数，且在
上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
6.已知
的展开式中含
的项的系数为30，则
（ ）
A.
B.
C.6 D-6
7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
8.已知点A,B,C在圆
上运动，且
.若点P的坐标为（2,0），则
的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
9.将函数
的图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，若对满足
的
，有
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（ ）
A.
B.
C.
D.
22015年湖南理科数学填空题
（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11.
.
12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.
若将运动员按成绩由好到差编为
号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
13.设F是双曲线C：
的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .
14.设
为等比数列
的前项和，若
，且
成等差数列，则
.
15.已知
，若存在实数
，使函数
有两个零点，则的取值范围是 .
32015年湖南理科数学解答题
16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）
；
（2）
（Ⅱ）已知直线
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
.
（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为
，直线
与曲线C 的交点为A，B，求
的值.
（Ⅲ）设
，且
.
（1）
；
（2）
与
不可能同时成立.
17.设
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，且B为钝角》
(1)证明：
（2）求
的取值范围
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，已知四棱台
上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
，且
底面ABCD，点P、Q分别在棱
、BC上.
（1）若P是
的中点，证明：
；
（2）若PQ//平面
，二面角P-QD-A的余弦值为
，求四面体ADPQ的体积.
20.已知抛物线
的焦点F也是椭圆
的一个焦点，
与
的公共弦的长为
.
（1）求的方程；
（2）过点F的直线
与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且
与
同向
（ⅰ）若
，求直线
的斜率
（ⅱ）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，
总是钝角三角形
21.已知
，函数
. 记
为
的从小到大的第n
个极值点,证明：
（1）数列
是等比数列
（2）若
，则对一切
，
恒成立.
